Đường tròn bàng tiếp tam giác

Định nghĩa

Đường tròn tiếp xúc với một cạnh của một tam giác và tiếp xúc với các phần kéo dài của hai cạnh kia gọi là đường tròn bàng tiếp tam giác. Tâm của mỗi đường tròn bàng tiếp tam giác là giao điểm hai đường phân giác của hai góc ngoài của tam giác hoặc giao điểm của tia phân giác của góc trong và một trong hai đường phân giác của góc ngoài không kề với nó.

Ví dụ:

Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng các tiếp điểm trên cạnh BC của đường tròn bàng tiếp góc A và của đường tròn nội tiếp đối xứng với nhau qua trung điểm của BC.

Giải:

Gọi I là tâm của đường tròn nội tiếp, O là tâm của đường tròn bàng tiếp góc A, D là tiếp điểm của (I) trên BC. Gọi P, F, Q là tiếp điểm của (O) với các đường thẳng AB, BC, AC.

Đặt BC = a; AC = b; AB = c. Theo tính chất các tiếp tuyến của đường tròn (O):

CF = CQ = AQ – AC (1)

AP + AQ = 2AQ = chu vi ABC (2)

Từ 1 và 2 suy ra:

2CF = 2QA – 2AC = (a + b + c) – 2b = a + c – b (3)

Theo tính chất các tiếp tuyến của đường tròn (I) ta có

2BD = a + c – b (4)

Từ 3 và 4 suy ra CF = BD.

Vậy D và F đối xứng với nhau qua trung điểm của BC.

Bài tập tự luyện:

Bài 1: Gọi a, b, c lần lượt là các cạnh của tam giác ABC; ha; hb; hc là các đường cao tương ứng; Ra; Rb; Rc là bán kính của các đường tròn bàng tiếp tương ứng; r là bán kính của đường tròn nội tiếp; p là nửa chu vi tam giác; S là diện tích tam giác. Chứng minh rằng:

S = Ra(p – a) = Rb(p – b) = Rc(p – c);
1/r = 1/Ra + 1/Rb + 1/Rc;
1/Ra = 1/hc + 1/hb – 1/ha;
Bài 2: Tính cạnh huyền của một tam giác vuông, biết r là bán kính của đường tròn nội tiếp và R là bán kính của đường tròn bàng tiếp góc vuông.

Bài 3: Cho tam giác ABC. Gọi (P), (Q), (R) theo thứ tự là các đường tròn bàng tiếp trong các góc A, B, C.

Gọi tiếp điểm của (Q), (R) trên đường thẳng BC theo thứ tự E, F. Chứng minh rằng CE = BF.
Gọi H, I, K theo thứ tự là tiếp điểm của các đường tròn (P), (Q), (R) với các cạnh BC, AC, AB. Nếu AH = BI = CK thì tam giác ABC là tam giác gì?
Chia sẻ cùng gia sư Toán thủ khoa:

Tải tài liệu miễn phí ở đây

Có thể bạn cũng quan tâm

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai.