Bạn Nguyễn Loan hs lớp 6 có hỏi bài toán sau:

Đề bài: 

CHO A=2+2²+2³+…+2^60.CHỨNG MINH RẰNG A CHIA HẾT CHO 3,7,15.

CHO B=3+3³+3⁵+…+31991.CHỨNG MINH RẰNG B CHIA HẾT CHO 13 VÀ 41.

Hướng dẫn:

Ta có: A= 2 + 2² + 2³ + … + 2⁶⁰= (2 +2²) + (2³+ 2⁴) + … + (2⁵⁹ + 2⁶⁰).

= 2 x (2 + 1) + 2³ x (2 + 1) + … + 2⁵⁹ x (2 + 1).

= 2 x 3 + 2³ x 3 + … + 2⁵⁹ x 3.

= 3 x ( 2 + 2³ + … + 2⁵⁹).

Vì A = 3 x ( 2 + 2³ + … + 2⁵⁹)  nên A chia hết cho 3.

A= (2 +2² + 2³) + (2⁴ + 2⁵  + 2⁶) + … + (2⁵⁸ + 2⁵⁹ + 2⁶⁰).

= 2 x (1 + 2 + 2²) + 2⁴x (1 + 2 + 2²) + … + 2⁵⁸ x (1 + 2 + 2²).

= 2 x 7 + 2⁴ x 7 + … + 2⁵⁸ x 7.

= 7 x ( 2 + 2⁴ + … + 2⁵⁸).

Vì A = 7 x ( 2 + 2⁴ + … + 2⁵⁸)  nên A chia hết cho 7.

A= (2 +2² + 2³ + 2⁴) + (2⁵ + 2⁶  + 2⁷ + 2⁸) + … + (2⁵⁷ + 2⁵⁸ + 2⁵⁹ + 2⁶⁰).

= 2 x (1 + 2 + 2² + 2³) + 2⁵x (1 + 2 + 2² + 2³) + … + 2⁵⁷ x (1 + 2 + 2² + 2³).

= 2 x 15 + 2⁵ x 15 + … + 2⁵⁷ x 15.

= 15 x ( 2 + 2⁴ + … + 2⁵⁸).

Vì A = 15 x ( 2 + 2⁴ + … + 2⁵⁸)  nên A chia hết cho 15.

Ta có: B= 3 + 3³ + 3⁵ + … + 3¹⁹⁹¹= (3 + 3³ + 3⁵) + (3⁷+ 3⁹ + 3¹¹ ) + … + (3¹⁹⁸⁷ + 3¹⁹⁸⁹ + 3¹⁹⁹¹).

= 3 x (1 + 3² + 3⁴) + 3⁷x (1 + 3² + 3⁴) + … + 3¹⁹⁸⁷ x (1 + 3² + 3⁴).

= 3 x 91 + 3⁷ x 91 + … + 3¹⁹⁸⁷ x 91= 3 x 7 x 13 + 3⁷  x 7 x 13 + … + 3¹⁹⁸⁷ x 7 x 13.

= 13 x ( 3x 7 + 3⁷ x 7 + … + 3¹⁹⁸⁷ x 7).

Vì B = 13 x ( 3x 7 + 3⁷ x 7 + … + 3¹⁹⁸⁷ x 7) nên B chia hết cho 13.

B= (3 + 3³ + 3⁵ + 3⁷) +  … + (3¹⁹⁸⁵ + 3¹⁹⁸⁷ + 3¹⁹⁸⁹ + 3¹⁹⁹¹).

= 3 x (1 + 3² + 3⁴  + 3⁶) +  … + 3¹⁹⁸⁵ x (1 + 3² + 3⁴ ​+ 3⁶).

= 3 x 820 + … + 3¹⁹⁸⁵ x 820= 3 x 20 x 41 + … + 3¹⁹⁸⁵ x 20 x 41.

= 41 x ( 3 x 20 + .. +  3¹⁹⁸⁵ x 20)

Vì B =41 x ( 3 x 20 + .. +  3¹⁹⁸⁵ x 20) nên B chia hết cho 41

Cơ sở lý thuyết và kinh nghiệm làm bài.

Bạn Nguyễn Loan học sinh lớp 6 có hỏi về những bài tập chia hết. Đây là dạng bài tập nâng cao sau khi các bạn học xong chương trình Toán tiểu học về phép chia. Để làm được những bài tập này, các bạn phải biết được dấu hiệu chia hết. Khi thuộc hết các dấu hiệu chia hết thì các bạn mới có cơ sở để vận dụng vào giải bài tập. Và Bạn Nguyễn Loan học sinh lớp 6 có hỏi bài toán có liên quan đến cả tổng của biểu thức lũy thừa. Để làm được bài toán đó, các bạn phải quy đổi để thấy được những dấu hiệu chia hết.

Đây là một dạng toán khó, để làm được bài tập này, các bạn phải rèn luyện nhiều bài tập. Các bạn phải làm bài tập từ cơ bản đến nâng cao. Vì khi làm bài tập cơ bản sẽ giúp các bạn nắm vững kiến thức và sẽ là gợi ý cho bài tập nâng cao giúp các bạn nâng cao trình độ. Với cũng bài tập như này, thường sẽ có trong đề thi học sinh giỏi Toán 6. Ngoài ra, nó cũng có trong đề thi học kì Toán 6 và thường là câu phân loại học sinh.

Ngoài những bài tập về chứng minh chia hết, có những bài tập dễ hơn là tìm số chia hết. Để hiểu hơn về dạng này, các bạn hãy tham khảo ví dụ sau

Bài tập ví dụ.

Tìm số tự nhiên lớn hơn 100 và nhỏ hơn 130 mà chia hết cho 4.

Lời giải:

Để một số chia hết cho 4 thì hai số tận cùng phải tạo thành một số chia hết cho 4.

Vậy các số chia hết cho 4 từ 100 đến 150 là: 104; 108; 112; 116; 120; 124; 128.

Sưu tầm: Thu Hoài

Tải tài liệu miễn phí ở đây

Các bài tập về dấu hiệu chia hết

1 Tập tin 95.32 KB

Tải về máy