Bài tập hằng đẳng thức đáng nhớ – Tổng hợp những bài toán đặc sắc nhất

Tầm quan trọng của hằng đẳng thức.

Bài tập hằng đẳng thức đáng nhớ là kiến thức các bạn được học ở Toán 8. Đây cũng là kiến thức bổ trợ cho chương trình Toán 9. Vì nó được áp dụng hầu hết chương trình Toán học của THCS và THPT. Vì vậy, bài tập hằng đẳng thức đáng nhớ rất quan trọng. Và nó còn cũng chiếm phần điểm khá cao trong đề thi học kì 2 Toán 8.

Những kiến thức cần nhớ để làm bài tập hằng đẳng thức.

Trong chương trình học, các bạn có bảy hằng đẳng thức đáng nhớ, đó là

1.    Bình phương của một tổng: (a + b)² = a² + 2ab + b² = (a – b)²+ 4ab

2.    Bình phương của một hiệu: (a – b)² = a² – 2ab + b² = (a + b)² – 4ab

3.    Hiệu hai bình phương: a² – b² = (a – b)(a + b)

4.    Lập phương của một tổng: (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

5.    Lập phương của một hiệu: (a – b)³ = a³ – 3a²b + 3ab² – b³

6.    Tổng hai lập phương: a³ + b³ = (a + b)(a² – ab + b²) = (a + b)³– 3a²b – 3ab² = (a + b)³ – 3ab(a + b)

7.    Hiệu hai lập phương: a³ – b³ = (a – b)(a² + ab + b²) = (a – b)³ + 3a²b – 3ab² = (a – b)³ + 3ab(a – b)

Ngoài các hằng đẳng thức đáng nhớ, các ban còn có các hệ quả và những hằng đẳng thức mở rộng. Những bất đẳng thức thường áp dụng trong các dạng bài tập:

·        Dạng 1 : Tính giá trị của biểu thức

·        Dạng 2 : Chứng minh biểu thức A không phụ thuộc vào biến

·        Dạng 3 : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

·        Dạng 4 : Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

·        Dạng 5 :Chứng minh đẳng thức

·        Dạng 6 : Chứng minh bất đẳng thức

·        Dang 7: Phân tích đa thức thành nhân tử

·        Dạng 8 : Tìm x, khi cho một biểu thức

·        Dạng 9 : Thực hiện phép tính phân thức

 Bài tập ví dụ về Hằng đẳng thức

Ví dụ 1:

b) Cho x+y= 9 và xy = 18. Không tính giá trị của x, y hãy tính giá trị của các biểu thức:

1) A = x² + y²

2) B = x⁴ + y⁴

3) C = x² – y²

4) D = x³ – y³.

Lời giải

1) Ta có A = x² + y² + 2xy – 2xy = (x + y)² – 2 xy

Thay x + y = 9 và xy = 18, Ta được:

A = 9² – 2 . 18 = 81 – 36 = 45

Vậy A = 45

2) Ta có B = x⁴ + y⁴ + 2x².y² – 2x².y²  = (x² + y²)² – 2. (xy)²

Tương đương B = (x² + y²  + 2xy – 2xy)² – 2. (xy)² = [(x + y)² – 2xy]² – 2.(xy)²

Thay x + y = 9 và xy = 18, Ta được:

B = [9² – 2 x 18]² – 2 x 18² = [81 – 36]² – 2 x 2² x 9² = 45² – 8 x 9²

Tương đương B = 5² x 9² – 8 x 9² = 9² x (25 – 8) = 81 x 17 = 1377

Vậy B = 1377

Ví dụ 2

Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào x: A = (x – 1)² + (x + 1)(3 – x)

Lời giải:

Ta có A = (x – 1)²  + (x + 1)(3 – x) = x² – 2x +1 – x² + 2x + 3

Tương đương A = 4

Suy ra biểu thức A không phụ thuộc vào biến

Suy ra điều phải chứng minh

Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B = x²  – 2x + 9

Lời giải

Ta có: B = x²  – 2x + 9 = x²  – 2x + 1 + 8 = (x – 1)² + 8

Vì (x – 1)² ≥ 0 với mọi x

Suy ra B ≥ 8

Suy ra giá trị nhỏ nhất của biểu thức B = 8.

Dấu “=” xảy ra khi x – 1 = 0 hay x = 1

Vậy giá trị nhỏ nhất của B = 8 với x = 1

Ví dụ 4

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức C = 8x – x² và tìm x để dấu bằng xảy ra.

Lời giải

Ta có C = 8x – x² = 16 – 16 + 8x – x² = 16 – (x -4)²

Vì (x – 4)² ≥ 0

Suy ra giá trị lớn nhất của biểu thức C = 16

Dấu “=” xảy ra khi x – 4 = 0 hay x = 4

Vậy giá trị lớn nhất của C = 16 với x = 4

Ví dụ 5:

Tính giá trị lớn nhất cảu biểu thức D = 8x – 4x²

Lời giải

Ta có D = 8x – 4x² = 4 – 4 + 8x – 4x² = 4 – (2x – 2)²

Vì (2x – 2)² ≥ 0

Suy ra giá trị lớn nhất của biểu thức D = 4

Dấu “=” xảy ra khi 2x – 2 = 0 hay x = 1

Vậy giá trị lớn nhất của D = 4 với x = 1

 Để hiểu rõ hơn về các dạng, các bạn hãy tham khảo tài liệu của chúng tôi bên dưới.

Tải tài liệu miễn phí ở đây

Bài tập hằng đẳng thức đáng nhớ

3 Tập tin 0.00 KB

Tải về máy

Tài liệu tiếp tục được cập nhật

Sưu tầm: Thu Hoài