[Bồi dưỡng HSG môn Toán khối 8 – Số chính phương] – Đề bài: Chứng minh rằng với mọi số nguyên x, y thì A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4 là số chính phương.
Hướng dẫn giải:
Ta có A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4
= (x2 + 5xy + 4y2)( x2 + 5xy + 6y2) + y4
Đặt x2 + 5xy + 5y2 = t ( t € Z) nên suy ra:
A = (t – y2)( t + y2) + y4 = t2 –y4 + y4 = t2 = (x2 + 5xy + 5y2)2
Theo đề bài: x, y, z € Z nên suy ra: x2 € Z, 5xy € Z, 5y2 € Z x2 + 5xy + 5y2 € Z
=> A là số chính phương (đpcm).
Chúc các em học tập tốt ?
(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y^4 là số chính phương){kind=link}