Định lý Ptô-lê-mê được coi là một định lý đẹp nhất của hình học phẳng, nó được áp dụng trong chương trình toán nâng cao lớp 9 và luyện thi vào 10 các trường chuyên, ở bài viết này gia sư chuyên luyện thi toán 9 vào 10 của trung tâm sẽ chứng minh đẳng thức Ptô-lê-mê. Đây coi như một bài viết mở đầu cho loạt bài tiếp theo để áp dụng định lý đẹp này để giải các bài toán khó. Chúc các em học tốt.
Thông báo: Giáo án, tài liệu miễn phí, và các giải đáp sự cố khi dạy online có tại Nhóm giáo viên 4.0 mọi người tham gia để tải tài liệu, giáo án, và kinh nghiệm giáo dục nhé!
Đẳng Thức Ptô-lê-mê: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O). Khi đó:
AC.BD = AB.CD + AD.BC
Chứng minh:
Lấy M thuộc đường chéo AC sao cho góc(ABD) = góc(MBC). Khi đó xét tam giác ABD và tam giác MBC có:
góc(ABD) = góc(MBC), góc(ADB) = góc(MCB)
Nên tam giác ABD và tam giác MBC đồng dạng với nhau trong trường hợp góc góc.
Do đó, ta có: AD/BD = MB/BC => AD.BC = BD.MB (1).
Lại có: BA/BD = BM/BC và góc(ABM) = góc(DBC) nên tam giác ABM đồng dạng tam giác DBC (g.g)
Suy ra: AB/AM = BD/CD hay AB.CD = AM.BD (2)
Từ (1) và (2) suy ra: AD.BC + AB.CD = BD.MB + AM.BD = AC.BD
Vậy đẳng thức Ptô-lê-mê đã được chứng minh.
