GIẢI BÀI TOÁN CHIA HẾT
Thông báo: Giáo án, tài liệu miễn phí, và các giải đáp sự cố khi dạy online có tại Nhóm giáo viên 4.0 mọi người tham gia để tải tài liệu, giáo án, và kinh nghiệm giáo dục nhé!
PHƯƠNG PHÁP DÙNG PHÉP CHIA CÓ DƯ
Lý Thuyết: Nếu số a chia cho b có thương là q và số dư là r, thì có thể viết:
a = bq + r
Định nghĩa: Giả sử a, b là hai số nguyên và b > 0. Ta nói rằng số a chia cho số b có thương là q và số dư là r, nếu a có thể biểu diễn bằng đẳng thức a = bq + r, trong đó 0
Một số ví dụ:
Ví Dụ 1: Chứng minh rằng với mọi số nguyên a, số a3 – a chia hết cho 6.
Giải
Phân tích: a3 – a = a(a – 1)(a + 1)
Số a có thể biểu diễn bằng một trong các dạng sau:
6q; 6q + 1; 6q + 2; 6q + 3; 6q + 4 và 6q + 5
Xét từng khả năng phân tích số a:
Với a = 6q số a3 – a = 6q(6q – 1)(6q + 1) chia hết cho 6;
Với a = 6q + 1 số a3 – a = (6q + 1)6q(6q + 2) chia hết cho 6;
Với a = 6q + 2 số a3 – a = (6q + 2)(6q + 1)(6q + 3)
= 2(3q + 1)(6q + 1)3(2q + 1)
= 6(3q + 1)(6q + 1)(2q + 1) chia hết cho 6;
Với a = 6q + 3 số a3 – a = (6q + 3)(6q + 2)(6q + 4)
= 3(2q + 1)2(3q + 1)(6q + 4)
= 6(2q + 1)(3q + 1)(6q + 4) chia hết cho 6;
Với a = 6q + 4 số a3 – a = (6q + 4)(6q + 3)(6q + 5)
= 2(3q + 2)3(2q + 1)(6q + 5)
= 6(3q + 2)(2q + 1)(6q + 5) chia hết cho 6.
Với a = 6q + 5 số a3 – a = (6q + 5)(6q + 4)(6q + 6)
= (6q + 5)2(3q + 2)3(2q + 3)
= (6q + 5)6(3q + 2)(2q + 3) chia hết cho 6.
Vậy với mọi số nguyên a số a3 – a luôn chia hết cho 6
Chú ý: Tất nhiên với bài này ta có thể giải bài toán bằng cách phân tích
a3 – a = a(a – 1)(a + 1) => đây là tích 3 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 2 và 3, mà 2 và 3 nguyên tố cùng nhau nên tích cũng chia hết cho 6. Nhưng ở đây ta đang xét phương pháp chia có dư để xử lý bài toán.
Tương tự ta có thể giải bài toán sau bằng cách trên:
Ví Dụ 2: Chứng minh rằng với mọi số nguyên a, số a(a6 – 1) chia hết cho 7.
Ta phân tích a(a6 – 1) = a(a3 – 1)(a3 + 1)
= a(a – 1)(a2 + a + 1)(a + 1)(a2 – a + 1)
= a(a – 1)(a + 1)(a2 + a + 1)(a2 – a + 1)
Xét các biểu diễn của số a dưới một trong các dạng sau:
7q; 7q + 1; 7q + 2; 7q + 3; 7q + 4; 7q + 5 và 7q + 6
Đến đây các em làm tương tự ví dụ 1 để có được điều phải chứng minh.
Mở rộng một chút ta có thể suy ra được biểu thức a(a6 – 1) chia hết cho 42.
Ví Dụ 3: Chứng minh rằng không có giá trị nào của a nguyên để số a2 + 1 chia hết cho 3.
Giải
Số a có thể biểu diễn bằng một trong 3 cách sau:
3q; 3q + 1; 3q + 2
Xét mọi khả năng phân tích số a:
Với a = 3q số a2 +1 = 9a2 + 1 chia 3 còn dư 1, nên a2+ 1 không chia hết cho 3.
Với a = 3q + 1 số a2 + 1 = (3q + 1)2 + 1
= 9q2 + 6q + 2
= 3(3q2 + 2q) + 2
chia 3 dư 2, nên a2 + 1 không chia hết cho 3.
Với a = 3q + 2 số a2 + 2 = (3q + 2)2 + 1
= 9q2 +12q + 4 = 3(3q2 + 4q + 1) + 1
Chia 3 dư 1 nên a2 + 1 không chia hết cho 3.
Vậy a2 + 1 không chia hết cho 3 với mọi a nguyên.
GOOD LUCK!
Chia sẻ cùng gia sư Toán thủ khoa:
