Giải bài toán chia hết bằng phương pháp dùng phép chia có dư

GIẢI BÀI TOÁN CHIA HẾT

PHƯƠNG PHÁP DÙNG PHÉP CHIA CÓ DƯ

Lý Thuyết: Nếu số a chia cho b có thương là q và số dư là r, thì có thể viết:

a = bq + r

Định nghĩa: Giả sử a, b là hai số nguyên và b > 0. Ta nói rằng số a chia cho số b có thương là q và số dư là r, nếu a có thể biểu diễn bằng đẳng thức a = bq + r, trong đó 0

Một số ví dụ:

Ví Dụ 1: Chứng minh rằng với mọi số nguyên a, số a3 – a chia hết cho 6.

Giải

Phân tích: a3 – a = a(a – 1)(a + 1)

Số a có thể biểu diễn bằng một trong các dạng sau:

6q; 6q + 1; 6q + 2; 6q + 3; 6q + 4 và 6q + 5

Xét từng khả năng phân tích số a:

Với a = 6q số a3 – a = 6q(6q – 1)(6q + 1) chia hết cho 6;

Với a = 6q + 1 số a3 – a = (6q + 1)6q(6q + 2) chia hết cho 6;

Với a = 6q + 2 số a3 – a = (6q + 2)(6q + 1)(6q + 3)

= 2(3q + 1)(6q + 1)3(2q + 1)

= 6(3q + 1)(6q + 1)(2q + 1) chia hết cho 6;

Với a = 6q + 3 số a3 – a = (6q + 3)(6q + 2)(6q + 4)

= 3(2q + 1)2(3q + 1)(6q + 4)

= 6(2q + 1)(3q + 1)(6q + 4) chia hết cho 6;

Với a = 6q + 4 số a3 – a = (6q + 4)(6q + 3)(6q + 5)

= 2(3q + 2)3(2q + 1)(6q + 5)

= 6(3q + 2)(2q + 1)(6q + 5) chia hết cho 6.

Với a = 6q + 5 số a3 – a = (6q + 5)(6q + 4)(6q + 6)

= (6q + 5)2(3q + 2)3(2q + 3)

= (6q + 5)6(3q + 2)(2q + 3) chia hết cho 6.

Vậy với mọi số nguyên a số a3 – a luôn chia hết cho 6

Chú ý: Tất nhiên với bài này ta có thể giải bài toán bằng cách phân tích

a3 – a = a(a – 1)(a + 1) => đây là tích 3 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 2 và 3, mà 2 và 3 nguyên tố cùng nhau nên tích cũng chia hết cho 6. Nhưng ở đây ta đang xét phương pháp chia có dư để xử lý bài toán.

Tương tự ta có thể giải bài toán sau bằng cách trên:

Ví Dụ 2: Chứng minh rằng với mọi số nguyên a, số a(a6 – 1) chia hết cho 7.

Ta phân tích a(a6 – 1) = a(a3 – 1)(a3 + 1)

= a(a – 1)(a2 + a + 1)(a + 1)(a2 – a + 1)

= a(a – 1)(a + 1)(a2 + a + 1)(a2 – a + 1)

Xét các biểu diễn của số a dưới một trong các dạng sau:

7q; 7q + 1; 7q + 2; 7q + 3; 7q + 4; 7q + 5 và 7q + 6

Đến đây các em làm tương tự ví dụ 1 để có được điều phải chứng minh.

Mở rộng một chút ta có thể suy ra được biểu thức a(a6 – 1) chia hết cho 42.

Ví Dụ 3: Chứng minh rằng không có giá trị nào của a nguyên để số a2 + 1 chia hết cho 3.

Giải

Số a có thể biểu diễn bằng một trong 3 cách sau:

3q; 3q + 1; 3q + 2

Xét mọi khả năng phân tích số a:

Với a = 3q số a2 +1 = 9a2 + 1 chia 3 còn dư 1, nên a2+ 1 không chia hết cho 3.

Với a = 3q + 1 số a2 + 1 = (3q + 1)2 + 1

= 9q2 + 6q + 2

= 3(3q2 + 2q) + 2

chia 3 dư 2, nên a2 + 1 không chia hết cho 3.

Với a = 3q + 2 số a2 + 2 = (3q + 2)2 + 1

= 9q2 +12q + 4 = 3(3q2 + 4q + 1) + 1

Chia 3 dư 1 nên a2 + 1 không chia hết cho 3.

Vậy a2 + 1 không chia hết cho 3 với mọi a nguyên.

GOOD LUCK!

Chia sẻ cùng gia sư Toán thủ khoa: