Hệ thức vi-ét là một hệ thức quan trọng trong chương trình Toán lớp 9. Hệ thức được ứng dụng vào giải các dạng toán của phương trình bậc hai. Trong hệ thức viét sẽ có hệ thức viét thuận và hệ thức viét đảo. Sau đây chúng tôi sẽ tổng quan qua hai hệ thức này và ứng dụng trong giải toán.
Thông báo: Giáo án, tài liệu miễn phí, và các giải đáp sự cố khi dạy online có tại Nhóm giáo viên 4.0 mọi người tham gia để tải tài liệu, giáo án, và kinh nghiệm giáo dục nhé!
Hệ thức vi-ét thuận và vi-ét đảo.
Hệ thức viét là là một hệ thức thể hiện sự liên quan của các nghiệm trong phương trình đa thức (đặc biệt là phương trình bậc 2).
Hệ thức viét thuận được biểu diễn như sau:
- Nếu x1 và x2 là hai nghiệm của phương trình bậc hai: ax2 + bx c = 0 (a ≠ 0 và D ≥ 0), thì ta có:
S = x1 + x2 = – b/a.
P = x1.x2 = c/a.
Hệ thức viét đảo được biểu diễn như sau:
- Nếu hai số x1 và x2 thoả mãn hai phương trình S = x1 + x2 và P = x1.x2 thì chúng sẽ là nghiệm của phương trình: ax2 + bx + c =0 (a ≠ 0 và D ≥ 0).
Ứng dụng của hệ thức trong giải toán
Hệ thức viét được ứng dụng vào giải các bài toán sau:
- Trong phương trình bậc hai:
- Tìm nghiệm của phương trình bậc hai.
- Tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng.
- Tính giá trị biểu thức đối xứng của hai nghiệm trong phương trình bậc hai.
Hệ thức còn được ứng dụng vào phương trình đa thức bất kì. Nhưng đây là dạng bài tập nâng cao hơn nên ít khi được ứng dụng.
Ngoài ra, hệ thức còn được ứng dụng vào một số dạng toán nữa. Để hiểu rõ hơn về cách ứng dụng hệ thức vào giải bài toán. Và có thêm nhiều bài tập rèn luyện. Mời các bạn tham khảo tài liệu bên dưới.
Tìm m thỏa mãn điều kiện bài cho
Ví dụ 1: Cho phương trình x2 – (2m – 1)x – m = 0. Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình đã cho. Tìm m để biểu thức A = x12 + x22 – x1. x2 = 1
Lời giải:
Δ = (2m-1)2 + 4m = 4m2 + 1 ≥ 0 với mọi m
Theo hệ thức Vi-et ta có:
x1 + x2 = 1-2m và x1.x2 = -m
Ta lại có:
A = x12 + x22 – x1. x2 = (x12 + x22 + 2.x1. x2 ) – 3.x1. x2 = (x1 + x2)2 – 3.x1. x2
Thay hệ thức Vi-et vào biểu thức A ta có:
A = (1-2m)2 + 3m = 4m2 – 4m + 1 + 3m = 4m2 – m + 1
A = 1 <=> 4m2 – m + 1 = 1
<=> 4m2 – m = 0
<=> m = 0 hoặc m = ¼
Vậy m = 0 hoặc m = ¼ là giá trị cần tìm.
Có thể thấy, dạng toán này có liên quan đến nhiều kiến thức khác Toán lớp 9 như giải phương trình, phương trình chứa căn, … Do đó, học sinh cần nắm vững các phần khác thì mới có thể làm tốt được dạng toán này. Để có nhiều bài tập luyện tập hơn, các bạn có thể tải TÀI LIỆU MIỄN PHÍ để thực hành nhé!
Tìm hệ thức liên hệ không phụ thuộc vào m
Ví dụ 2: Cho phương trình x2 + (4m+1)x + 2m – 8 = 0. Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình. Tìm hệ thức liên hệ giữa x1 và x2 không phụ thuộc vào m.
Lời giải:
Ta có: Δ = (4m + 1)2 – 4(2m – 8) = 16m2 +33 > 0 với mọi m
=> Phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 với mọi m.
Theo hệ thức Vi-et ta có:
x1 + x2 = -4m – 1 và x1. x2 = 2m – 8
Biến đổi hệ phương trình trên ta thu được 2 phương trình sau:
-4m = x1 + x2 + 1
2m = x1. x2 + 8
Tiếp tục nhân với -2 vào phương trình thứ 2 ta có hệ:
-4m = x1 + x2 + 1
-4m = -2.x1. x2 – 16
Như vậy, x1 + x2 + 1 = -2.x1. x2 – 16
<=> x1 + x2 + 2.x1. x2 + 17 = 0
Vậy hệ thức cần tìm là x1 + x2 + 2.x1. x2 + 17 = 0
Sưu tầm: Thu Hoài
