Đề 3
Thông báo: Giáo án, tài liệu miễn phí, và các giải đáp sự cố khi dạy online có tại Nhóm giáo viên 4.0 mọi người tham gia để tải tài liệu, giáo án, và kinh nghiệm giáo dục nhé!
Bài 1: Một phân xưởng có 25 người. Hỏi phân xưởng đó có thể có 20 người ít hơn 30 tuổi và 15 người nhiều hơn 20 tuổi không?
Giải
Ta chia phân xưởng đó thành 3 nhóm theo độ tuổi là: những người ít hơn 20 tuổi, những người nhiều hơn 20 tuổi nhưng ít hơn 30 tuổi, những người nhiều hơn 30 tuổi.
Ta có:
Sốngười nhiều hơn 20 tuổi và ít hơn 30 tuổi là: (20 + 15) – 25 = 10 (người).
Số người nhiều hơn 30 tuổi là: 25 – 20 = 5 (người)
Số người ít hơn 20 tuổi là: 25 – 15 = 10 (người).
Kiểm tra lại: 10 + 5 + 10 = 25 người.
Vậy có thể có phân xưởng như thế.
Bài 2:
Có 3 loại que với số lượng và các độ dài như sau:
– 16 que có độ dài 1 cm
– 20 que có độ dài 2 cm
– 25 que có độ dài 3cm
Hỏi có thể xếp tất cả các que đó thành một hình chữ nhật được không?
Giải
Nhận xét: Do các que đều có độ dài là một số tự nhiên (cm) nên các cạnh nếu xếp được cũng phải là một số tự nhiên (cm) và suy ra nửa chu vi cũng là một số tự nhiên (cm).
Theo đề bài: Nếu xếp tất cả các que thành một hình chữ nhật thì chu vi hình chữ nhật đó bằng tổng chiều dài tất cả các que và bằng:
16x 1 + 20 x 2 + 25 x 3 = 131 (cm)
Nửa chu vi hình chữ nhật đó là: 131 : 2 = 65,5 (cm)
Thấy 65,5 không phải là một số tự nhiên như nhận xét. Vậy ta đi đến kết luận: không thể xếp tất cả các que đó thành một hình chữ nhật được.
Bài 3: Cô giáo yêu cầu:”Các con lấy 6 điểm trên một đường tròn, nối các điểm đó bởi các đoạn thẳng tô bởi mực xanh hoặc mực đỏ”.
Bạn lớp trưởng tập hợp các hình vẽ lại và xem, bạn thốt lên:”Bạn nào cũng vẽ được 1 tam giác mà 3 cạnh cùng màu mực”! Bạn hãy thử làm lại xem. Ai có thể lập luận để làm rõ tính chất này.
Giải
Ta gọi 6 điểm nằm trên đường tròn là A1, A2, A3, A4, A5, A6. Bằng bút xanh và đỏ ta nối A1 với 5 điểm còn lại ta được 5 đoạn thẳng có hai màu xanh hoặc đỏ.
Theo nguyên lý Điríchlê có ít nhất 3 đoạn thẳng cùng màu. Không làm mất tính tổng quát, ta nối 3 đoạn A1A2, A1A3, A1A4 bằng bút màu đỏ. Ta nối tiếp A2A4 và A2A3. Để tam giác A1A2A3 và tam giác A1A2A4 có 3 cạnh không cùng màu thì A2A4 và A2A3 phải tô màu xanh. Bây giờ ta tiếp tục nối A3A4, ta thấy A3A4 được tô bằng bất kỳ màu xanh hoặc đỏ thì ta cũng được ít nhất một tam giác có 3 cạnh cùng màu (hoặc A1A3A4 có 3 cạnh đỏ hoặc A2A3A4 có 3 cạnh màu xanh).
Bài 4.
Thi bắn súng. Hôm nay Dũng đi thi bắn súng. Dũng bắn giỏi lắm, Dũng đã bắn hơn 11 viên, viên nào cũng trúng bia và đều trúng các vòng 8; 9; 10 điểm. Kết thúc cuộc thi, Dũng được 100 điểm. Dũng vui lắm. Còn các bạn có biết Dũng đã bắn bao nhiêu viên và kết quả bắn vào các vòng ra sao không:
Giải
Ta thấy: 8 x 13 = 104 > 100. Vậy nên số viên đạn Dũng đã bắn phải ít hơn 13. Theo đề bài thì Dũng bắn hơn 11 viên. Vậy Dũng đã bắn 12 viên đạn.
Giả sử, Dũng bắn cả 12 viên đạn đều vào vòng 8 thì số điểm Dũng đạt được là:
12 x 8 = 96 (điểm)
Số điểm này ít hơn thực tế là: 100 – 96 = 4 (điểm) và nguyên nhân của điều này là có những viên Dũng bắn vào vòng 9 được nhiều hơn giả sử 9 -8 = 1 điểm và một số viên Dũng bắn vào vòng 10 được nhiều hơn giả sử là: 10 – 8 = 2 điểm.
Vì vậy nếu ta coi số viên bắn vào vòng 9 điểm là x, số viên bắn vào vòng 10 điểm là y thì: x + 2 x y = 4.
Theo đề bài, các vòng 8, 9, 10 đều trúng nên x > 0 và y > 0. Từ đó, và kết hợp với 2 x 3 = 6 > 4 nên y < 3 ta xét các trường hợp sau:
y = 1 thì suy ra x = 2.
y = 2 thì x = 0 loại.
Vậy Dũng đã bắn 12 viên được 1 viên trúng vòng 10, 2 viên trúng vòng 9 và 12 – (1 + 2) = 9 viên trúng vòng 8.
Bài 5: Chơi bốc diêm
Trên bàn có 18 que diêm. Hai người tham gia cuộc chơi: Mỗi người lần lượt đến phiên mình lấy ra một số que diêm. Mỗi lần mỗi người lấy ra không quá 4 que. Người nào lấy được số que cuối cùng thì người đó thắng.Nếu bạn được bốc trước, bạn có chắc chắn thắng được không?
Giải
Giả sử có A và B là 2 người tham gia cuộc chơi và A được bốc trước. Bài toán chuyển về tìm các chơi sao cho A (người đi trước) luôn là người thắng cuộc.
Suy luận: Do mỗi lần bốc không quá 4 que diêm, nên nếu ở lần bốc áp chót của A, A để lại 5 que diêm thì dù B bốc bao nhiêu que (nhiều nhất là 4) cũng phải để lại một số que nhỏ hơn 5 (1,2, 3, 4) . Vậy ở lần bốc cuối cùng của mình A chỉ cần bốc nốt số que còn lại để dành chiến thắng..
Như vậy, để đảm bảo thắng thì số que diêm còn lại sau khi A bốc luôn luôn phải là chia hết cho 5 vì vậy nếu B bốc x que diêm (0 < x < 5) thì A bốc 5 – x que. Và ở lần đầu tiên được bốc trước A phải để lại 15 que diêm (chia hết cho 5), do đó lượt đầu A bốc 3 que diêm.
