Bất đẳng thức Cosi là một bất đẳng thức các bạn được học trong chương trình Toán lớp 9. Nó là một bất đẳng thức quan trọng được sử dụng nhiều nhất trong giải toán về chứng minh bất đẳng thức. Vậy bất đẳng thức Cosi và những bài toán áp dụng là gì?
Bất đẳng thức Cosi lớp 9
Bất đẳng thức Cosi hay còn gọi là bất đẳng thức Cauchy là một bất đẳng thức so sánh giữa trung bình cộng và trung bình nhân của n số thực không âm.
BĐT được biểu diễn như sau: (x1 + x2 + x3 + ….+ xn)/n ≥ √x1.x2.x3….xn
Ngoài ra, BĐT Cosi được biểu diễn dưới dạng cụ thể sau: (a + b)/2 ≥ √a.b
Để chứng minh bất đẳng thức Cosi trên, ta có:
(a + b)/2 ≥ √a.b <=> a + b ≥ 2√a.b <=> a – 2√a.b + b ≥ 0 <=> (√a – √b)2 ≥ 0 (1)
Với a và b là những số không âm thì biểu thức (1) luôn luôn đúng
Suy ra điều cần chứng minh.
Nhưng trong giải bài toán áp dụng BĐT Cosi, các bạn được phép áp dụng luôn BĐT mà không cần chứng minh.
Các dạng của bất đẳng thức cosi
Bất đẳng thức cosi là bất đẳng thức nổi tiếng trong toán học. Nó được chia là hai loại: dạng cụ thể và dạng tổng quát.
- Với Bất đẳng thức dạng cụ thể là dạng với trị số n cụ thể. Với n ở đây là những con số được xác định trong bất đẳng thức. Ví dụ như với 2 số thực không âm, ba số thực không âm hay bốn số thực không âm,….
- Với Bất đẳng thức dạng tổng quát thì n là số không được xác định. Trong đó, điều kiện của n phải đáp ứng là n không âm. Với dạng tổng quát này, chúng ta sẽ có bốn dạng tổng quát với x1, x2, x3, …xn không âm. Để nắm vững được các dạng tổng quát này, mời các bạn tham khảo tài liệu bên dưới.
Một số hệ quả của bất đẳng thức cauchy
Hệ quả của bất đẳng thức cosi được áp dụng nhiều trong giải bài toán bất đẳng thức về tìm giá trị nhỏ nhất và tìm giá trị lớn nhất của một biểu thức hay một bất đẳng thức. Các bạn sẽ có hai hệ quả cần ghi nhớ. Đó là:
- Hệ quả 1: Khi tổng của hai số dương không đổi thì tích của hai số này lớn hơn khi hai số đó bằng nhau.
- Hệ quả 2: Khi tích hai số dương không đổi thì tổng của hai số này sẽ nhỏ nhất hai số đó bằng nhau.
Ngoài ra, các bạn còn một số kĩ thuật khi sử dụng bất đẳng thức cosi là
- Đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân
- Kỹ thuật tách nghịch đảo
- Kỹ thuật chọn điểm rơi
- Kỹ thuật đánh gí từ trung bình nhân (TBN) sang trung bình cộng (TBC)
Những bài toán áp dụng bất đẳng thức Cosi.
Trong bài toán về bất đẳng thức sẽ không chỉ rõ được những dạng thường áp dụng bất dẳng thức nào. Vì một bài toán có thể có nhiều cách làm và áp dụng các bất đẳng thức khác nhau. Trong khi, bất đẳng thức là bài toán rất khó, nó là bài toán phân loại học sinh.
Do đó, để biết cách áp dụng BĐT Cosi vào giải bài toán, các bạn cần luyện bài tập thật nhiều. Ở đây chúng tôi có tổng hợp 50 bài toán điển hình về áp dụng bất đẳng thức Cosi. Mời các bạn tham khảo tài liệu bên dưới.
Sưu tầm: Thu Hoài
