Cho p là tích của n số nguyên tố đầu tiên (n > 1). Chứng minh rằng p – 1 không phải là số chính phương

[Bồi dưỡng HSG Toán THCS khối 6,7,8,9] – Đề bài: Cho p là tích của n số nguyên tố đầu tiên (n > 1). Chứng minh rằng p – 1 không phải là số chính phương.

Giải:

Giả sử p – 1 là số chính phương. Do p là tích của n số nguyên tố đầu tiên (n > 1 ). Suy ra: p chia hết cho 3. Do đó p – 1 ≡ -1 (mod 3).

Đặt: p – 1 = 3k – 1.

Một số chính phương không có dạng 3k – 1. Từ đây ta có điều mâu thuẫn.

Tìm hiểu về số chính phương

Số chính phương có thể xem là một số tự nhiên mà có căn bậc 2 cũng là một số tự nhiên. Nói vậy theo cách khác thì một số chính phương chính là bình phương của một con số tự nhiên. Chính phương có khi được gọi là số hình vuông bởi lẽ. Số chính phương cũng là bình phương của một con số tự nhiên. Bên cạnh đó diện tích hình vuông lại tích của hai cạnh hình vuông.

Các dạng số chính phương

Số chính phương chỉ có thể xuất hiện ở một trong 4 dạng: 4n; 4n+1; 3n+1

Số chính phương thì không có xuất hiện ở dạng 4n+2               4n+3               3n+2

Đặc điểm của số chính phương

• Là một số chính phương thì chỉ có các chữ số tận cùng là 0, 1, 4, 5, 6, 9, nhưng không bao giờ tận có số cùng là 2, 3, 7, 8,…
• Số chính phương thì chia cho 3 và không bao giờ có số dư là 2; khi nó chia cho 4 thì không bao giờ dư 2 hoặc 3; số chính phương cho là lẻ khi chia 8 luôn dư 1.