Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta đều có n^3 + 5n chia hết cho 6

Đề bài: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta đều có n³ + 5n chia hết cho 6.

(Trích đề thi vào lớp 10 chuyên, ĐHKHTN – ĐHQGHN năm 1996)

Hướng dẫn giải:

Ta có: n³ + 5n = n³ – n + 6n = n(n² – 1) + 6n = n.(n – 1).(n + 1) + 6n.

Vì n là số nguyên dương nên suy ra: Tích của ba số nguyên dương liên tiếp: n – 1, n , n + 1 chia hết cho 2 và 3

=> n.(n – 1)(n + 1) chia hết cho 6.

Mà 6n chia hết cho 6 nên suy ra:

n.(n – 1)(n + 1) + 6n chia hết cho 6.

=> n³ + 5n chia hết cho 6 (đpcm).

Cơ sở lý thuyết.

Đây là dạng bài tập nâng cao mà các bạn được học trong chương trình Toán lớp 6. Dạng bài tập này sẽ được học xuyên suốt trong chương trình Toán học trung học cơ sở. Và dạng bài tập này đã có vài lần được ra trong đề thi vào 10 các trường chuyên. Vì vậy, toàn bộ kiến thức học trong trung học cơ sở để có thể có trong đề thi vào lớp 10 kể cả kiến thức Toán 6.

Để làm được dạng bài tập này, đầu tiên các bạn phải học vững kiến thức về dấu hiệu chia hết. Về dấu hiệu chia hết, đã được chúng tôi tổng quan lại, các bạn có thể tham khảo. Dựa vào các dấu hiệu chia hết này, các bạn hãy sẽ có những gợi ý để giải bài tập.

Sau đó, các bạn phân tích biểu thức để nhận thấy dấu hiệu chia hết rồi suy ra điều phải chứng minh. Để hiểu rõ hơn, các bạn hãy tham khảo ví dụ bên dưới.

Bài tập ví dụ.

Cho n là số tự nhiên và n không chia hết cho 3. Chứng minh rằng 32n + 3n +1 chia hết cho 13.

Lời giải:

n là số tự nhiên và không chia hết cho 3 nên ta đặt n = 3a + b (a∈N;b∈{1;2})

Suy ra ta có: A = 32n + 3n + 1= 32(3a + b)  + 33a+b +1

                         = 93a + b + 33a + b +1

                         =729a . 9b + 27a . 3b +1 =  9b (729a – 1) + 3b. (27a – 1) + 9b + 3b + 1 = 728x + 26y + 9b + 3b +1.

Trường hợp 1:  r=1 suy ra A  =  728x + 26y + 13 = 13. (56x + 2y +1)

Suy ra A chia hết cho 13 (1)

Trường hợp 2:  r = 2 suy ra A = 728x + 26y + 91 = 13. (56x + 2y +7)

Suy ra A chia hết cho 13 (2)

Vậy từ (1) và (2) ta có điều cần chứng minh.

Thu Hoài

Có thể bạn cũng quan tâm

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai.