Giải một số bài tập đối xứng tâm hình lớp 8

Gia sư toán hướng dẫn giải một số bài tập đối xứng tâm trong chương trình toán lớp 8.

Bài 1: Cho điểm O nằm trong tứ giác ABCD. Gọi E, F, G, H là điểm đối xứng của O theo thứ tự qua trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. Chứng minh EFGH là hình bình hành.

Hướng Dẫn Giải

hinh-1

Gọi J; K; L; M lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA.
Trong tam giác ABD thì JM là đường trung bình => JM // = 1/2 BD. (1)
Trong tam giác CBD thì LK là đường trung bình => LK // = 1/2 BD. (2)
Từ (1) và (2) có: JM //= LM (3)
Trong tam giác OEH có JM là đường trung bình => JM //= 1/2 EH (4)
Trong tam giác OFG có LM là đường trung bình => LM // = 1/2 FG (5)
Từ (3), (4) và (5) suy ra: EH // = FG
Vậy EFGH là hình bình hành (dpcm)
Bài 2: Cho tứ giác ABCD. Gọi M,N,P,Q theo thứ tự là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Gọi E là điểm bất kì nằm ngoài tứ giác, F là điểm đối xứng với E qua điểm M, G là điểm đối xứng với F qua điểm N, H là điểm đối xứng với G qua P. CMR: E là điểm đối xứng với H qua Q.
Hướng Dẫn Giải

hinh-2

Tương tự bài 1, ta cũng có được: NP //= 1/2 BD (1) và MQ //= 1/2 BD (2).

Trong tam giác GHF có NP là đường trung bình => NP //= 1/2 HF (3)

Từ (1) và (3) => HF //=BD (4)

Từ (2) và (4) => MQ //= 1/2 HF mà M là trung điểm của EF => MQ là đường trung bình của tam giác EHF.

Suy ra: E là điểm đối xứng với H qua Q (dpcm)

Bài 3: Cho tam giác ABC. Vẽ D đối xứng với A qua B; E đối xứng với B qua C và F đối xứng với C qua A. Gọi G là giao điểm của đường trung tuyến AM của tam giác ABC với đường trung tuyến DN của tam giác DEF. Gọi I và K lần lượt là trung điểm của GA và GD. CMR:
a) Tứ giác MNIK là hình bình hành.
b) Trọng tâm của tam giác ABC và tam giác DEF trùng nhau.

Giải
Bài 4: Cho tam giác ABC và một điểm M tùy ý ở trong tam giác . Gọi D,E,F thứ tự là trung điểm của BC, CA, AB. Gọi H,I,K thứ tự là điểm đối xứng của M qua D,E,F. CMR:
a) Ba đường thẳng AH,BI,CK đồng quy.
b) Khi M di động trong tam giác thì đường thẳng OM luôn đi qua một điểm cố định.