(Thi HSGQG 2004 bảng A). Ký hiệu S(n) là tổng các chữ số của n. Tìm giá trị nhỏ nhất của S(n) khi n chạy trên các bội của 2003.
Giải
Đặt p = 2003. p là số nguyên tố. Rõ ràng S(n) > 1 vì 10^k không chia hết cho p. Giả sử, tồn tại n là bội của p và S(n) = 2. Suy ra tồn tại k để 10^k đồng dư với -1 (mod p). Chú ý 2^10 = 1024 đồng dư với 10^7 (mod p) nên:
(2^5k)^2 = 2^10k đồng dư 10^7k đồng dư (10^k)^7 đồng dư -1 (mod p)
Vậy – 1 là số chính phương (mod p), mâu thuẫn vì p không có dạng 4k + 1.
Tiếp theo ta chứng minh tồn tại n là bội của 3 mà S(n) = 3. Ta có:
10^7 đồng dư 2^10 => 2.10^700 đồng dư 2^1001 đồng dư 2^((p – 1) : 2) đồng dư -1 (mod p)
vì p # 8t +1 và p # 8t – 1. Vậy n = 2.10^700 + 1 là bội của p và S(n) = 3. Thành thử giá trị nhỏ nhất của S(n) khi n chạy trên các bội của 2003 là 3.
Hãy cùng các gia sư toán xét tiếp bài toán sau đây: Tìm tất cả các số nguyên tố p lẻ (p, 3) = 1 sao cho p là số chính phương (mod p). Các em hãy đón đọc vào bài viết sau để xem lời giải.
