Ký hiệu s(n) là tổng các chữ số của n. Tìm giá trị nhỏ nhất của s(n) khi n chạy trên các bội của 2003

(Thi HSGQG 2004 bảng A). Ký hiệu S(n) là tổng các chữ số của n. Tìm giá trị nhỏ nhất của S(n) khi n chạy trên các bội của 2003.

Giải

Đặt p = 2003. p là số nguyên tố. Rõ ràng S(n) > 1 vì 10^k không chia hết cho p. Giả sử, tồn tại n là bội của p và S(n) = 2. Suy ra tồn tại k để 10^k đồng dư với -1 (mod p). Chú ý 2^10 = 1024 đồng dư với 10^7 (mod p) nên:

(2^5k)^2 = 2^10k đồng dư 10^7k đồng dư (10^k)^7 đồng dư -1 (mod p)

Vậy – 1 là số chính phương (mod p), mâu thuẫn vì p không có dạng 4k + 1.

Tiếp theo ta chứng minh tồn tại n là bội của 3 mà S(n) = 3. Ta có:

10^7 đồng dư 2^10 => 2.10^700 đồng dư 2^1001 đồng dư 2^((p – 1) : 2) đồng dư -1 (mod p)

vì p # 8t +1 và p # 8t – 1. Vậy n = 2.10^700 + 1 là bội của p và S(n) = 3. Thành thử giá trị nhỏ nhất của S(n) khi n chạy trên các bội của 2003 là 3.

Hãy cùng các gia sư toán xét tiếp bài toán sau đây: Tìm tất cả các số nguyên tố p lẻ (p, 3) = 1 sao cho p là số chính phương (mod p). Các em hãy đón đọc vào bài viết sau để xem lời giải.

Có thể bạn cũng quan tâm

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai.