Ở bài viết này, các chuyên gia toán của trung tâm gia sư sẽ cùng các bạn bàn về cách sử dụng tính chẵn lẻ trong các bài toán chia hết. Sau đây là một số tín chất.
- Tổng hoặc hiệu của một số chẵn và một số lẻ là một số lẻ.
- Tổng hoặc hiệu của hai số chẵn hoặc hai số lẻ là một số chẵn.
- Tích các số lẻ là một số lẻ.
- Tích các số, trong đó có ít nhất một số chẵn, là một số chẵn.
- Trong hai số nguyên liên tiếp thì có một số chẵn và một số lẻ.
Sau đây, gia sư toán xin nêu ra một số ví dụ:
Ví dụ 1: Cho bảy số nguyên a1; a2; … a7. Viết các số nguyên đó theo một thứ tự khác được b1; b2;… b7. Chứng minh rằng tích số (a1 – b1)(a2 – b2)…(a7 – b7) chia hết cho 2.
Hướng dẫn giải:
Đặt ci = ai – bi với i = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Ta có:
c1 + c2 + … + c7 = (a1 – b1) + (a2 – b2) + … + (a7 – b7)
= (a1 + a2 + … + a7) – (b1 + b2 + … + b7) = 0
Theo tính chất 1, 2 thì trong các số c1; c2; … ; c7 phải có ít nhất 1 số chẵn, lại theo tính chất 4 thì tích c1.c2…c7 phải là một số chẵn.
Ví dụ 2: Số 3^n + 2003, trong đó n là số nguyên dương, có chia hết cho 184 không?
Hướng dẫn giải:
Ta thấy: 184 = 8.23 và 3^2m – 1 chia hết cho 3^2 – 1 = 8.
Nếu n = 2m chẵn thì 3^2m + 2003 = 2^2m – 1 + 250.8 + 4 không chia hết cho 8.
Nếu n = 2m + 1 lẻ thì 3^(2m + 1) + 2003 = 3(3^2m – 1) + 250.8 + 6 không chia hết cho 8.
Vậy với mọi số nguyên dương n thì số 3^n + 2003 đều không chia hết cho 184.
Các bài luyện tập:
Bài 1. Cho n > 3, n là số tự nhiên. Chứng minh rằng nếu 2^n = 10a + b với 0 < b < 9 thì ab chi hết cho 6.
Bài 2: Cho các số nguyên dương x, y, z thoả mãn x^2 + y^2 = 2.z^2. Chứng minh rằng x^2 – y^2 chia hết cho 48.
Bài 3: Cho các số nguyên dương x, y, z thoả mãn x^2 + y^2 = z^2. Chứng minh rằng xyz chia hết cho 60.
Bài 4: Biết a là một số nguyên dương.
a) Nếu a + 1 và 2a + 1 là các số chính phương thì số a có chia hết cho 24 không?
b) Nếu 2a + 1 và 3a + 1 là các số chính phương thì số a có chia hết cho 40 không?
