BÀI TOÁN CẦU PHƯƠNG HÌNH TRÒN

Bài toán Cầu phương hình tròn: Dựng một hình vuông có cùng diện tích với một hình tròn cho trước chỉ bằng com-pa và thước thẳng. Bài toán cùng với các bài toán chia ba một góc và gấp đôi khối lập phương là ba bài toán dựng hình nổi tiếng nhất thời cổ đại.

Nó đã thu hút sự quan tâm của các nhà toán học trong hơn 2000 năm, nhưng đến năm 1882 thì người ta đã chứng minh được ta không thể Cầu phương hình tròn, hay nói cách khác đây là bài toán không giải được. Tại sao? Vì Cầu phương hình tròn đưa đến việc dựng một đoạn thẳng có độ dài bằng pi*r , ở đó r là bán kính hình tròn đã cho. Ta không thể dựng được đoạn thẳng đó bằng thước và compa vì pi là một số siêu việt.

Phép chứng minh năm 1882 chỉ ra rằng: Thước thẳng chỉ có thể dùng để dựng các đoạn thẳng mà phương trình biểu diễn là tuyến tính. Com-pa có thể dựng các đường tròn và các cung tròn biểu diễn bằng phương trình bậc hai. Khi những kiểu phương trình này đồng thời được giải phải sử dụng các tổ hợp tuyến tính, chúng dẫn tới các phương trình nhiều nhất là bậc hai. Nhưng các phương trình nhận được khi giải ba bài toán dựng hình thời cổ đại bằng các phương pháp đại số lại bao gồm các số siêu việt và các phương trình bậc ba. Do đó, chỉ dùng một thước thẳng và một com – pa thì sẽ không thể nhận được các kiểu phương trình này.