Đây là một bài toán nâng cao trong chương trình Toán lớp 10. Chúng ta sẽ có hai cách chứng minh căn bậc hai của 2 là số vô tỉ bằng phương pháp phản chứng.
Cách 1:
- Giả sử rằng √2 là một số hữu tỉ. Khi đó sẽ tồn tại hai số nguyên a và b sao cho a/b = √2.
- Như vậy √2 có thể được viết dưới dạng một phân số tối giản (phân số không thể rút gọn được nữa): a/b với a, b là hai số nguyên tố cùng nhau và (a/b)^2 = 2
- Từ (2) suy ra a^2/b^2 = 2 và a^2=2b^2.
- Do 2b^2 là số chẵn nên a^2 là số chẵn.
- Vì a^2 là số chính phương chẵn (số chính phương lẻ có căn bậc hai là số lẻ, số chính phương chẵn có căn bậc hai là số chẵn) nên suy ra a phải là số chẵn.
- Vì a là số chẵn, nên tồn tại một số t sao cho a=2t (t ∈ N)
- Thay (6) vào (3) ta có: (2t)^2 = 2b^2 <=> (4t)^2=(2b)^2 <=> (2t)^2=b^2
- Vì (2t)^2=b^2 mà (2t)^2 là số chẵn nên b^2 là số chẵn, điều này suy ra b cũng là số chẵn.
- Từ (5) và (8) ta có: a và b đều là các số chẵn, điều này mâu thuẫn với giả thiết a/b là phân số tối giản ở (2).
Từ đó suy ra √2 là một số hữu tỉ là sai nên √2 phải là số vô tỉ.
Suy ra điều phải chứng minh.
Cách 2:
- Giả sử rằng √2 là một số hữu tỉ. Khi đó sẽ tồn tại hai số nguyên dương a và b sao cho a/b = √2
- Biến đổi đẳng thức trên, ta có: a/b =(2b – a)/(a – b)
- Vì √2 > 1, nên từ (1) suy ra a > b <=> a > (2b – a)
- Từ (2) và (3) suy ra (2b – a)/(a – b) là phân số rút gọn của phân số a/b
Từ (4) suy ra, a/b không thể là phân số tối giản hay √2 không thể là số hữu tỉ (mâu thuẫn với giả thiết).
Vậy √2 phải là số vô tỉ. Suy ra điều phải chứng minh.
Lưu ý về cách chứng minh căn bậc hai của 2 là số vô tỉ.
Từ hai cách chứng minh căn bậc hai của 2 là số vô tỉ bằng phương pháp phản chứng. Các bạn có thể tổng quát hoá lại để chứng minh căn bậc hai của một số tự nhiên hay một số nguyên hay một số vô tỉ.
Ví dụ: chứng minh căn bậc hai của 3 là số vô tỉ
Lời giải
Giả sử rằng √3 là một số hữu tỉ. (1)
Khi đó sẽ tồn tại hai số nguyên dương a và b sao cho a/b = √3
Hay a = √3.b => a^2 = 3.b^2 (2)
Từ (2) suy ra a^2 chia hết cho 3 nên a phải chia hết cho 3.
Giả sử a = 3t (t ∈ N). Thay vào (2) ta được: (3t)^2 = 3.b^2 <=> 3.t^2 = b^2.
=> b = t√3.
Ta có t là số nguyên nên b không là số nguyên
Suy ra giả sử ban đầu là sai.
Vậy √3 không phải là số hữu tỉ. Suy ra √3 là số vô tỉ (đpcm)
Sưu tầm: Thu Hoài
