Đề bài:
Cho tam giác ABC vuông tại A, kẻ trung tuyến AM. Qua A kẻ đường thẳng d vuông góc với AM. Qua M kẻ các đường thẳng vuông góc với AB, AC, chúng cắt d theo thứ tự tại D, E. Chứng minh rằng: a) BD // CE b) DE = BD = CE
Lời giải:
Câu a:
Vì AM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác △ABC. Tam giác ABC vuông tại A nên AM=MB=MCAM=MB=MC
⇒△MAB;△MAC⇒△MAB;△MAC cùng cân tại M
⇒MD⇒MD vừa là đường cao, vừa là đường phân giác trong △MAB.
⇒△BMD=△AMD(cạnh-góc-cạnh) ⇒ˆDBM=ˆDAM=90∘→DB⊥BC⇒△BMD=△AMD(c.g.c)⇒DBM^=DAM^=90∘→DB⊥BC
Chứng minh tương tự có: △AME=△CME(c.g.c)→ˆECM=ˆMAE=90∘→CE⊥BC△AME=△CME(c.g.c)→ECM^=MAE^=90∘→CE⊥BC
DB//CEDB//CE
Câu b:
Từ các chứng minh trên ta suy ra: BD=DA;CE=AE→BD=DA;CE=AE→
DE = BD = CE (điều phải chứng minh).
Chứng minh đoạn thẳng bằng nhau thông qua tam giác bằng nhau
Có nhiều phương pháp để chứng minh. Nhưng trong trường hợp này. Cách đơn giản nhất là dựa vào các tam giác chứa cạnh đó để suy ra điều phải chứng minh. Một tam giác được tạo thành bởi ba cạnh và ba góc. Khi 2 tam giác đó bằng nhau trong trường hợp cạnh góc cạnh. Các cạnh và góc tương ứng cũng sẽ bằng nhau.
Muốn làm tốt các bài tập hình học. Điều quan trọng là nắm vững các kiến thức lý thuyết cơ bản. Từ đó mới biết được điều kiện để hai tam giác bằng nhau, điều kiện để hai đường thẳng cắt nhau, trùng nhau, vuông góc… Dựa vào các yếu tố đó để chứng minh được hai tam giác trên bằng nhau để suy ra cạnh tương ứng bằng nhau.
Bài tập ví dụ về tam giác
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Gọi H là giao điểm của ba đường cao AM, BN, CP.
a, Chứng minh tứ giác HMBP nội tiếp được trong đường tròn. Xác định tâm I của đường tròn ấy
b, Chứng minh AM là phân giác của NMP.
c, Gọi J là trung điểm của AC. Chứng minh IJ là trung trực của MP
Bài giải cho ví dụ về tam giác
a,
Ta có đường cao AM vuông góc với BC
<=> HM vuông góc với MB => góc HMB = 900
Đường cao CP vuông góc với AB <=> HP vuông góc với BP => góc HPB = 900
=> góc HMB + góc HPB = 1800
Mà HMB và HPB là hai góc đối nhau trong tứ giác HMBP
Suy ra tứ giác HMBP nội tiếp được trong đường tròn có tâm I
Gọi K là trung điểm của HB
Ta lại có tam giác HMB có góc HMB = 900
=> Tam giác HMB là tam giác vuông M
=> MK = KB = KM (1)
Tương tự tam giác HPB là tam giác vuông góc P => PK = HK = BK (2)
Từ (1) và (2) ta có: MK = KB = KM = PK
=> K là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác HMBP
=> K Ξ I
Vậy tứ giác HMBP nội tiếp đường tròn có tâm I là trung điểm của HB
b,
Ta có tứ giác HMBP nội tiếp đường tròn
=> góc HMP = góc HBP (1)
Tương tự với chứng minh ở câu a, ta có tứ giác HNCP nội tiếp đường tròn
Suy ra góc HCN = góc HMN (2)
Ta lại có tam giác vuông ABN và tam giác vuông ACP có chung góc A và góc BNA = góc CPA = 900
=> góc ABN = góc ACP (3)
Từ (1) , (2), (3) ta có: góc AMN = góc AMP
Suy ra AM là phân giác của góc NMP (đpcm)
c
Ta có IM = IP (do I là trọng tâm đườn tròn ngoại tiếp tứ giác HMBP) (I)
Tam giác AMC có góc AMC = 900
Suy ra tam giác AMC là tam giác vuông tại A
J là trung điểm của AC
Suy ra MJ = AJ = CJ (6)
Tam giác APC vuông tại P => PJ = AJ = CJ (7)
Từ (6), (7) ta có MJ = PJ (II)
Từ (I) và (II) suy ra IJ là là trung trực của MP
Sưu tầm: Hải Yến
