Bài: Cho đa thức P(x) ∈ Z[x], thỏa mãn tồn tại k nguyên sao cho: P(2009^k).P(2010^k) = 2011^k. Chứng minh đa thức này không có nghiệm nguyên.
Thông báo: Giáo án, tài liệu miễn phí, và các giải đáp sự cố khi dạy online có tại Nhóm giáo viên 4.0 mọi người tham gia để tải tài liệu, giáo án, và kinh nghiệm giáo dục nhé!
Giải
Giả sử P(x) có nghiệm nguyên là m, thì ta có: P(x) = (x – m)Q(x)
Ta có:
P(2009k) = (2009k – m).Q(2009k)
Và P(2010k) = (2010k – m).Q(2010k)
Do P(2009k).P(2010k) = 2011k nên P(2009k) và P(2010k) đều là những số lẻ.
Vậy (2009k – m) và (2010k – m) đều là số lẻ. Tuy nhiên, điều này là vô lý vì 2009k và 2010k có tính chẵn lẻ khác nhau nên (2009k – m) và (2010k – m) luôn có tính chẵn lẻ khác nhau.
Do đó, giả sử ban đầu là sai dẫn đến kết luận đa thức này không có nghiệm nguyên.
Mời các em theo dõi gia sư toán để đón đọc những cách giải khác ở những bài toán khác.
 ∈ Z[X], THỎA MÃN TỒN TẠI K NGUYÊN SAO CHO: P(2009^K).P(2010^K) = 2011^K. CHỨNG MINH ĐA THỨC NÀY KHÔNG CÓ NGHIỆM NGUYÊN.){kind=link}