Bất đẳng thức bunhiacopxki và những ứng dụng trong giải toán

Những kiến thức cơ bản về bất đẳng thức bunhiacopxki

Bất đẳng thức bunhiacopxki được xem là một nhánh nhỏ của bất đẳng thức Cauchy – Schwars. Nó được sử dụng nhiều nhất và có tính thực tiễn trong các bài toán chứng minh bất đẳng thức. Đây là một bất đẳng thức cổ điển nổi tiếng và quen thuộc đối với học sinh. Khi làm bài tập, bất đẳng thức thường được áp dụng trọng định lý và hệ quả. BĐTbunhiacopxki có 3 dạng là dạng cơ bản, dạng phân thức và dạng đặc biệt. Ở mức độ khó khác nhau thì sẽ được cho ở dạng khác nhau.

Ở trong các đề thi như đề thi THPT QG hay đề thi cuối kì thì thường có câu bất đẳng thức ở cuối đề. Đây là câu quyết định điểm 10 của các bạn.

Những kỹ thuật áp dụng giải bài toán về bất đẳng thức Bunhiacopxki

Để làm được câu bất đẳng thức Bunhiacopxki các bạn phải có những kỹ thuật nhất định. Tôi sẽ tóm tắt 5 kỹ thuật áp dụng BĐTBunhiacopxki thường sử dụng khi giải bài toán:

• Kỹ thuật chọn điểm rơi.
• Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng cơ bản.
• Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức Bunhi acopxki dạng phân thức.
• Kỹ thuật thêm bớt.
• Kỹ thuật đổi biến trong bất đẳng thức Bunhiacopxki.

Đây là những kỹ thuật cơ bản mà hay dùng các bạn cần nắm rõ. Để biết những kỹ thuật này như thế nào các bạn hãy tham khảo tài liệu chúng tôi sưu tầm. Tài liệu có đầy đủ cả lý thuyết và có những ví dụ để các bạn có thể hiểu rõ hơn. Hy vọng những kiến thức tôi cung cấp sẽ giúp ích cho bạn trong học tập. Chúc các bạn học tập tốt!

Ứng dụng của bất đẳng thức trong Toán học

Bất đẳng thức Bunhiacopxki và  bất đẳng thức Cosi là hai bất đẳng thức được sử dụng nhiều nhất trong Toán học. Và ứng dụng của chúng vào các dạng bài tập là nhiều. Dưới đây là những ứng dụng hay gặp nhất:

• Giải phương trình, bất phương trình
• Biện luận phương trình
• Chứng minh đẳng thức
• Chứng minh hình học
• Phân tích đa thức thành nhân tử

Đây là 4 ứng dụng phổ biến nhất. Có thể nói có rất nhiều dạng bài tập nhỏ hơn thuộc 4 ứng dụng này. Các bài tập có thể từ dễ đến khó. Do đó, nếu các bạn muốn làm tốt được phần bất đẳng thức này phải làm thật nhiều.

Phần lớn những dạng toán của Bunhiacopxki không có cách giải cụ thể. Do đó, chỉ có làm nhiều và rút ra được những cách thường dùng thì mới có thể làm được.

Bài tập ví dụ

Ví dụ 1: Cho a, b, c thỏa mãn điều kiện a + b + c = 1

Chứng minh rằng a² + b² + c² = 1/3

Lời giải:

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho 1, 1, 1 và a, b, c ta có như sau:

(1² + 1² + 1²)(a² + b² + c²) ≥ (1.a + 1.b + 1.c)² = (a+b+c)² = 1

<=> 3(a² + b² + c²) ≥ 1

<=> (a² + b² + c²) ≥ 1/3.

Dấu “=” xảy ra khi a=b=c = 1/3

Ví dụ 2: Cho các số x, y, z thỏa mãn điều kiện xy + yz + zx = 1

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x⁴ + y⁴ + z⁴  

Lời giải:

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:

(x² + y² + z²)(x² + y² + z²) ≥ (xy + yz + zx)² = 1

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho 1, 1, 1 và x², y², z²  ta được:

1≤ (x² + y² + z²)² ≤ (1+1+1)(x⁴ + y⁴ + z⁴)

=> (x⁴ + y⁴ + z⁴) ≥ 1/3

Vậy GTNN của A = 1/3 khi x = y = z = ±(√3)/3

Tải tài liệu miễn phí ở đây

Sử dụng bất đẳng thức bunhiacopxki

2 Tập tin 145.50 KB

Tải về máy

Tài liệu tiếp tục được cập nhật!

Sưu tầm: Thu Hoài