Chứng minh rằng 5^n – 1 chia hết cho 4

Đề bài: Chứng minh rằng 5^n – 1 chia hết cho 4 với mọi n thuộc N.

Hướng dẫn:

Bài này có nhiều cách, trong đó Thầy hướng dẫn các em theo phương pháp Đồng dư thức. Để chứng minh 5^n – 1 chia hết cho 4 ta cần chứng minh 5^n – 1 đồng dư với 0 theo mod 4.

Ta có 5 ≡ 1 (mod 4)

=> 5^n ≡ 1 (mod 4)

=> 5^n – 1 ≡ 0 (mod 4)

=> 5^n – 1 chia hết cho 4 (đpcm).

Cơ sở lí thuyết.

Đây là dạng bài tập nâng cao trong chương trình Toán 9. Bài toán được giải bằng phương pháp đồng dư.

Để làm được bài toán này, các bạn phải hiểu phương pháp đồng dư là gì? Sau đây tôi sẽ tóm tắt qua những kiến thức chính của phương pháp đồng dư:

a là số đồng dư với b theo môdun c nếu hai số nguyên  a và b khi chia cho c (c khác 0) có cùng số dư. Được kí hiệu là a ≡ b (mod c) (1) gọi là một đồng dư thức, trong đó: a là vế trái của đồng dư thức, b là vế phải và c là modun.

Từ (1) suy ra a – b chia hết cho c.

Một vài tính chất của đồng dư thức:

Với a, b, c, d, x,.. thuộc Z, ta luôn có các tính chất sau:

• Tính chất 1:

a ≡ a (mod x); a ≡ b (mod x) <=> b ≡ a (mod x); a ≡ b (mod x) và b ≡ c (mod x) <=> a ≡ c (mod x).

• Tính chất 2:  a ≡ b (mod x) và c ≡ d (mod x) :

a ± c ≡ b ± d (mod x); ac ≡ bc (mod x) (c >0); ac ≡ bd (mod x); …

• Tính chất 3: a ≡ b (mod x) và c thuộc Z⁺ => ac ≡ bc (mod xc).

Đây là những lý thuyết cơ bản mà các bạn nắm vững để làm bài tập. Để hiểu rõ hơn các bạn hãy tham khảo ví dụ bên dưới.

Bài tập ví dụ:

Chứng minh rằng với mọi a thuộc N: A = 5^2a+1 + 2^{a + 4} + 2^{a + 1} chia hết cho 23.

Lời giải:

Ta có A = 25^a.5 + 2^a.16 + 2^a.2

Áp dụng tính chất 1, ta có 25^a ≡  2^a (mod 23)

Do đó, A ≡  2^a‑.5 + 2^a.16 + 2^a.2 (mod 23)

Tương đương A≡  2^a.23 (mod 23) ≡ 0 (mod 23)

Suy ra điều phải chứng minh.

Tải tài liệu miễn phí ở đây

Chuyên đề đồng dư lớp 9

1 Tập tin 108.00 KB

Tải về máy

Sưu tầm: Thu Hoài