[Bổ trợ kiến thức Toán THCS – Chuyên đề dấu hiệu chia hết] – Đề bài: Chứng minh rằng: n5 – n ⋮ 30.
Giải:
[latex]a^2 + b_2^3 \ge c_{i-2}^5 + d_i^7 [/latex]
Ta có: n5 = n4+1 và n có chữ số tận cùng giống nhau nên suy ra: n5 – n ⋮ 10 (1).
Ta có: n5 – n = n.(n4 – 1) = n(n4 + n2 – n2 – 1) = n.[(n4 + n2) – (n2 + 1)]
= n.[n2.(n2 + 1) – (n2 + 1)]
= n.[(n2 + 1).(n2 – 1)]
= n.(n2 + 1).(n2 – n + n – 1)
= n.(n2 + 1).[n.(n – 1) + (n – 1)]
= n.(n2 + 1).(n – 1).(n + 1)
Vì (n – 1), n, (n + 1) là 3 số tự nhiên liên tiếp nên suy ra:
(n – 1).n.(n + 1) ⋮ 3
=> n5 – n ⋮ 3 (2)
Từ (1) và (2) suy ra: n5 – n ⋮ 30 (đpcm).
