Lời giải bài toán hình học luyện thi vào 10 chuyên toán số 21, đây là một bài toán tuyển sinh các lớp chuyên Toán, Tin của trường PTNK, ĐHQG TP. Hồ Chí Minh năm học 2004 – 2005. Sau đây là lời giải của gia sư toán thủ khoa dành cho các em tham khảo.
Bài 21: (NK 2004 – 2005 CT)
Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp trong đường tròn (O) và điểm M là một điểm thay đổi trên cung nhỏ BC. N là điểm đối xứng của M qua trung điểm I của AB.
a) Chứng minh trực tâm K của tam giác NAB thuộc một đường cố định.
b) Giả sử NK cắt AB tại D, hạ KE vuông góc với BC. Gọi H là trực tâm của tam giác ABC. Chứng minh rằng DE đi qua trung điểm J của HK.
Lời giải
a/ Tứ giác BNAM là hình bình hành suy ra BN // AM và AN // BM.
Vậy K thuộc đường tròn (O) cố định.
b/ Gọi S là điểm đối xứng của K qua E; R là điểm đối xứng của K qua D.
Suy ra, S, H, R thẳng hàng. Vì DE là đường trung bình của tam giác KRS, nên DE đi qua trung điểm J của HK. (dpcm)
an
ok