Cho P là số nguyên tố lớn hơn 3. Cmr (P – 1)(P + 1) chia hết cho 24

Đề bài: Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3. CMR (p – 1)(p + 1) chia hết cho 24.

Giải:

TH1: p có dạng: p = 3k + 1 (k thuộc N*):

Ta có: (p – 1)(p + 1) = 3k.(3k + 2)

Vì p là số nguyên tố nên: k là số chẵn, k = 2n (Với n thuộc N*).

=> (p – 1).(p + 1) = 3.2n.(6n + 2) = 3.4.n.(3n + 1)

Nếu n là số lẻ thì 3n + 1 là số chẵn, ngược lại, n là số chẵn thì 3n + 1 là số lẻ nên suy ra: n.(3n + 1) chia hết cho 2

(p – 1)(p + 1) chia hết cho 3.4.2 = 24 (đpcm) (1)

TH2: p có dạng: p = 3k + 2 (k thuộc N*):

Ta có: (p – 1)(p + 1) = (3k + 1).(3k + 3) = 3.(3k + 1).(k + 1)

Vì p là số nguyên tố nên: k là số lẻ, k = 2n + 1 (Với n thuộc N*).

=> (p – 1).(p + 1) = 3.(6n + 4).(2n + 2) = 3.4.(3n + 2).(n + 1)

Nếu n là số lẻ thì 3n + 2 là số lẻ và n + 1 là số chẵn, ngược lại, n là số chẵn thì 3n + 2 là số chẵn và n + 1 là số lẻ nên suy ra: (3n + 2).(n + 1) chia hết cho 2.

=> (p – 1)(p + 1) chia hết cho 3.4.2 = 24 (đpcm) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: (p – 1).(p + 1) chia hết cho 24 (đpcm).

Chúc các em học tập tốt 🙂

Tải tài liệu miễn phí ở đây

Bài tập về số tự nhiên

1 Tập tin 16.49 KB

Tải về máy