Bài tập nâng cao về dấu hiệu chia hết trong Toán lớp 8.
Trong phần này chúng tôi có một vài ví dụ nâng cao bài toán về dấu hiệu chia hết. Các bạn hãy cùng xem và giải nhé:
Bài 1: Chứng minh rằng: Số A = 0,3.(19831983 + 19171917) là một số nguyên.
Bài 2: Chứng minh rằng: Với mọi m, n thuộc Z, ta có:
- n3 + 11n ⋮ 6
- mn(m2 – n2) ⋮ 3
- n(n + 1)(2n + 1) ⋮ 6
Bài 3: Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3, chứng minh rằng: p2 – 1 ⋮ 24,
Bài 4: Chứng minh rằng: n và n5 có chữ số tận cùng giống nhau.
Bài 1. Chứng minh rằng: Số A = 0,3.(19831983 + 19171917) là một số nguyên.
Ta có:
19834k = [ (1980 + 3)4]k = (10q +34)k = (10m + 1)k = 10t + 1
19834k + 1 = 10m + 3
19834k + 2 = 10n + 9
19834k + 3 = 10p + 7
Vì 1983 có dạng 4k + 3 nên 19831983 = 10p + 7
Làm tương tự ta có 19171917 = 10d + 3
Vậy A = 0,3.(19831983 + 19171917) là một số nguyên
Bài 2: Chứng minh rằng: Với mọi m, n thuộc Z, ta có:
- n3 + 11n ⋮ 6
- mn(m2 – n2) ⋮ 3
- (n + 1)(2n + 1) ⋮ 6
1, Ta có:
n3 + 11n = n2(n + 11)
= n( n2 – 1 + 12)
= n(n2 – 1) + 12n
= (n-1)n(n + 1) + 12n
Vì (n-1)n(n + 1) là tích của 3 số tự nhiên liên tiếp nên nó cùng chia hết cho 2 và 3. Do đó, tích này chia hết cho 6. Đồng thời 12n cũng chia hết cho 6
Tức là (n – 1)n(n + 1) + 12n chia hết cho 6
Vậy n3 + 11n chia hết cho 6
2, Ta có:
mn(m2 – n2) = mn(m2 – 1 – n2 + 1)
= mn(m2 – 1) – mn (n2 – 1)
=mn(m – 1)(m + 1) –mn (n-1)(n + 1)
= n(m-1)m(m + 1) – m(n – 1)n(n + 1)
Do (m-1)m(m + 1) là 3 số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 3
(n – 1)n(n + 1) là 3 số tự nhiện liên tiếp chia hết cho 3
Do đó n(m-1)m(m + 1) – m(n – 1)n(n + 1) cũng chia hết cho 3
Vậy mn(m2 – n2) chia hết cho 3
3, n(n + 1)(2n + 1) ⋮ 6
Ta có:
n(n + 1)(2n + 1) = n(n + 1)(n + 2 +n – 1)
= n(n + 1)(n + 2) + n(n + 1)(n – 1)
Do n(n + 1)(n + 2) là 3 số tự nhiên liên tiếp nên tích của chúng chia hết cho 2 và 3 nên cùng chia hết cho 6
Tương tự n(n + 1)(n – 1) cũng chia hết cho 6.
Vậy n(n + 1)(2n + 1) chia hết cho 6
Bài 3: Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3, chứng minh rằng: p2 – 1 ⋮ 24
Gọi A = p2 – 1 = (p – 1)(p + 1)
Ta có p là số nguyên tố > 3 => p lẻ => p-1; p+1 chẵn Vậy A chia hết cho 8 với mọi p là số nguyên tố > 3 (1)
Do p là số nguyên tố > 3 => p = 3k+1; 3k + 2
Nếu p= 3k+1 => A = 3k(3k+2) chia hết cho 3
Nếu p = 3k+2 => A = (3k+1)(3k+3) = 3(k+1)(3k+1) chia hết cho 3
Do đó A chia hết cho 3 với mọi p là số nguyên tố > 3 (2)
8 và 3 là 2 số nguyên tố cùng nhau (3)
Từ (1); (2); (3) Ta có A chia hết cho 24 với mọi p là số nguyên tố lớn hơn 3.
Bài 4: Chứng minh rằng: n và n5 có chữ số tận cùng giống nhau.
Xét hiệu sau:
n5 – n = n(n4 – 1)
= n(n2 -1)(n2 + 5 – 4)
= n(n2 – 1)(n2 – 4) + 5n(n2 – 1)
= (n – 2)(n – 1)n(n + 1)(n + 2) + 5(n – 1)n(n + 1)
Ta thấy (n – 2)(n – 1)n(n + 1)(n + 2) là tích của 5 số tự liên tiếp nên sẽ chia hết cho cả 2 và 5. Nên tích này sẽ chia hết cho 10.
Ta lại có: (n – 1)n(n + 1) là tích của 3 số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho hay. Nên 5(n – 1)n(n + 1) sẽ chia hết cho 5.2 = 10
Do đó, (n – 2)(n – 1)n(n + 1)(n + 2) + 5(n – 1)n(n + 1) chia hết cho 10
Tức là n5 – n sẽ có tận cùng là 0.
Vậy nó có chữ số tận cùng giống nhau.
Toán chứng minh về dấu hiệu chia hết là bài toán bồi dưỡng học sinh lớp 8. Trên đây những bài tập ví dụ cụ thể cho dạng này. Chúng tôi đã đưa ra những lời giải cụ thể các bạn có thể tham khảo.
Sưu tầm: Trần Thị Nhung
