Đề bài: Chứng minh rằng tồn tại số tự nhiên k sao cho 3k tận cùng bằng 001.
Hướng dẫn giải:
Bài toán này, chúng ta vận dụng nguyên lý Di-rich-le để giải.
Gọi dãy số: 3, 32, 33, …, 31001. Theo nguyên lý Di-rich-le luôn tồn hai số trong 1001 số trên khi chia cho 1000 có cùng số dư.
Giả sử hai số: 3m, 3n, trong đó: 1 ≤ n < m ≤ 1001.
=>3m – 3n ⋮ 1000
=> 3n.(3m-n – 1) ⋮ 1000
Vì 3n không chia hết cho 1000 nên suy ra: 3m‑n – 1 ⋮ 1000
=> 3m-n – 1 = 1000k (k thuộc N*)
=> 3m-n = 1000k + 1
=> 3m-n có chữ số tận cùng là 001
=> tồn tại 3k có chữ số tận cùng là 001 (đpcm).
Cơ sở kiến thức để chứng minh tồn tại số tự nhiên có tận cùng là?
Đây là một dạng bài toán điển hình của chương trình Toán lớp 6. Bài toán là một dạng bài nâng cao của bài tập về số tự nhiên. Một kiến thức các bạn được học rất nhiều trong chương trình Toán tiểu học. Và được ôn tập lại trong chương đầu tiên khi các bạn bắt đầu học toán lớp 6.
Để giải bài toán trên, các bạn phải vận dụng nguyên lý Di – rich – le. Vậy nguyên lý Di – rich – le là gì?
Nguyên lý Di – rich – le được phát biểu là: Nếu xếp nhiều hơn a + 1 đối tượng vào a cái hộp thì tồn tại ít nhất một hộp chứa không ít hơn hai đối tượng.
Đây là một nguyên lý rất nổi tiếng do một nhà toán học người Đức tạo ra. Và được vận dụng vào toán học đến hiện nay.
Ngoài các bài tập về số tự nhiên, trong Toán lớp 6, các bạn cũng được học về số nguyên tố. Hay các bài tập về số nguyên tố cùng nhau. Để hiểu hơn về dạng bài tập này. Mời các bạn tham khảo ví dụ bên dưới.
Bài tập ví dụ
Cho (a,b) = 1. Chứng minh rằng: 5a +3b và 13a.b nguyên tố cùng nhau.
Lời giải
Giả sử 5a + 3b và 13a.b không nguyên tố cùng nhau . Do đó 5a + 3b và 13ab sẽ phải có ít nhất một ước số chung nguyên tố d.
5a + 3b chia hết cho d (1)
13a.b chia hết cho d (2)
Vì d là số nguyên tố nên từ (2), ta có:
a chia hết cho d hoặc b chia hết cho d.
· Nếu a chia hết cho d . Từ (1) b chia hết cho d
Như vậy a và b có một ước số chung nguyên tố d, trái với giả thiết.
· Nếu b chia hết cho d . Từ (1) a chia hết cho d
Như vậy a và b có một ước số chung nguyên tố d, trái với giả thiết.
Vậy, (a,b) = 1 thì 13ab và 5a + 8b nguyên tố cùng nhau.
Sưu tầm: Thu Hoài
