[Bồi dưỡng HSG Toán lớp 6] – Bài toán liên quan về số chính phương, số nguyên tố trong toán lớp 6.
Em Phạm Hưng học sinh lớp 6 trường THCS Lê Quý Đôn – Hải Dương có hỏi bài toán 6:
Thông báo: Giáo án, tài liệu miễn phí, và các giải đáp sự cố khi dạy online có tại Nhóm giáo viên 4.0 mọi người tham gia để tải tài liệu, giáo án, và kinh nghiệm giáo dục nhé!
Bài 1: Số 100! khi phân tích ra thừa số nguyên tố có dạng :
100! = 2x.3y.5z.7t… với x; y; z; t thuộc N*. Tìm x, y, z, t .
Bài 2: Cho A = 1! +2! +3! +4! +5! +6! +…+2015!
- Tìm chữ số tận cùng của A
- Chứng minh A không phải là số chính phương
- Chứng minh A là hợp số.
Hướng dẫn giải:
Bài 1: Trong bài toán này, em tìm các số nguyên tố lớn hơn hoặc bằng 2 và nhỏ hơn 100. Sau tìm các số mũ, chính là x, y, z, t, …
– Bước 1: Các số nguyên tố nhỏ hơn 100 là: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.
– Bước 2: Tìm các số x, y, z, t.
+) Ứng với lũy thừa cơ số 2 có số mũ là x:
=> x = [100/2] + [100/4] + [100/8] + [100/16] + [100/32] + [100/64]
=> x = 50 + 25 + 12 + 6 + 3 + 1 = 99.
+) Ứng với lũy thừa cơ số 3 có số mũ là y:
=> y = [100/3] + [100/9] + [100/27] + [100/81]
=> y = 33 + 11 + 3 + 1 = 48
+) Ứng với lũy thừa cơ số 5 có số mũ là z:
=> z = [100/5] + [100/25]
=> z = 20 + 4 = 24
+) Ứng với lũy thừa cơ số 7 có số mũ là t:
=> t = [100/7] + [100/49]
=> t = 14 + 2 = 16
Bài 2:
a) Ta có: 1! + 2! + 3! + 4! = 1 + 2 + 6 + 24 = 33.
Từ 5!, 6!, …, 2015! có chữ số tận cùng bằng 0 nên suy ra:
A có chữ số tận cùng bằng 3.
b) Vì A có chữ số tận cùng bằng 3 nên A không phải là số chính phương.
c). Ta có: 1! + 2! = 1 + 2 = 3 chia hết cho 3.
Ta có n! chia hết cho 3 với ( 3=< n <= 2015) nên suy ra:
A chia hết cho 3
=> A là hợp số (đpcm).
